ヨットでBストレートが達成される確率

本記事はヨットでBストレートが達成される確率に関する記事です．

目的は，Bストレートが達成される確率を最大にする戦略を明らかにし，その場合の確率を求めることです．

『世界のアソビ大全51』における呼称にならい，Bストレートとは出目が12345または23456となることを指します．

1 解法
2 戦略
3 各状態における値

解法

動的計画法で解きます．

$\mathrm{dp}[i][j][k][l]=$ ( $i$ 回の振り直しが残っていて， $j$ 個の目が不確定で，2,3,4,5のうち $k$ 種類の数字が揃っていて， $l=$ (1,6の少なくとも一方が揃っている)である場合にBストレートとなる確率) とします．

例えば，通常のルールにおいて1ラウンドでBストレートだけを狙った場合にそれが達成される確率は， $\mathrm{dp}[2][5][0][0]=\frac{319695199}{1224440064}\approx0.261$ となります．

遷移についてはコードを見てください．振り直しの際に $k$ を減らすような遷移は最適となりえないため省いています．

from fractions import Fraction

# 振り直しの回数
N = 2

dp = [[[[Fraction(0)] * 2 for k in range(5)] for j in range(6)] for i in range(N+1)]
dp[0][0][4][1] = Fraction(1)

for i in range(N+1):
    for j in range(6):
        for k in range(5):
            for l in range(2):
                if j == 0:
                    if i > 0:
                        for l_ in range(l+1):
                            dp[i][j][k][l] = max(dp[i-1][5-k-l_][k][l_], dp[i][j][k][l])
                else:
                    p = Fraction(k+2*l, 6) * dp[i][j-1][k][l]
                    if k < 4:
                        p += Fraction(4-k, 6) * dp[i][j-1][k+1][l]
                    if l < 1:
                        p += Fraction(2, 6) * dp[i][j-1][k][l+1]
                    dp[i][j][k][l] = p

print(dp[N][5][0][0]) # 319695199/1224440064
print(float(dp[N][5][0][0])) # 0.26109501673411434

戦略

各 $\left(i, k\right)$ に対し $\mathrm{dp}[i-1][5-k][k][0]$ と $\mathrm{dp}[i-1][4-k][k][1]$ を比較することで，1,6を戻すべきか否かを決定できます．前者が大きければ戻すべきとなります．

$i=1$ の場合， $k\leq1$ なら戻すべきで， $k=2$ なら等しく， $k\geq3$ なら戻さないべきです．

$i=2$ の場合， $k\leq2$ なら戻すべきで， $k\geq3$ なら戻さないべきです．

$i\geq3$ の場合， $k\leq3$ なら戻すべきで， $k=4$ なら戻さないべきです．

通常のルールで $i\geq3$ とはならないので， $k\leq2$ なら戻し， $k\geq3$ なら戻さないとすれば最適であることがわかります．

各状態における値

不確定の目が存在しない場合の値です．したがって $\left(k,l\right)=\left(0,0\right)$ とはなりえません．

	$i=1$	$i=2$
$\left(k,l\right)=\left(0,1\right)$	$0.031$	$0.130$
$\left(k,l\right)=\left(1,0\right)$	$0.037$	$0.146$
$\left(k,l\right)=\left(1,1\right)$	$0.037$	$0.146$
$\left(k,l\right)=\left(2,0\right)$	$0.056$	$0.184$
$\left(k,l\right)=\left(2,1\right)$	$0.056$	$0.184$
$\left(k,l\right)=\left(3,0\right)$	$0.111$	$0.278$
$\left(k,l\right)=\left(3,1\right)$	$0.167$	$0.306$
$\left(k,l\right)=\left(4,0\right)$	$0.333$	$0.556$
$\left(k,l\right)=\left(4,1\right)$	$1.000$	$1.000$