はじめに
本記事ではタイトルの通り，\tan121^\circ=-1.664\ldots，すなわち -1.665<\tan121^\circ<-1.664 をTaylorの定理から示します．
\tan121^\circ=-\tan59^\circなので，1.664<\tan59^\circ<1.665 を示せばよいです．
ただし以下の不等式を証明無しで用います．
1.73205<\sqrt3<1.73206\\
0.01745<\frac\pi{180}<0.01746\\
0.00030<\left(\frac\pi{180}\right)^2<0.00031
証明
\cos x 及び \sin x に対し x=60^\circ でTaylorの定理を適用します．
それぞれ2次の項まで展開すると，ある 59^\circ<\theta_1, \theta_2<60^\circ が存在して，
\begin{aligned}
\cos59^\circ
&= \cos60^\circ+\sin60^\circ1^\circ-\frac12\cos\theta_1(1^\circ)^2\\
&= \frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac12\cos\theta_1\left(\frac\pi{180}\right)^2,\\
\sin59^\circ
&= \sin60^\circ-\cos60^\circ1^\circ-\frac12\sin\theta_2(1^\circ)^2\\
&= \frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac12\sin\theta_2\left(\frac\pi{180}\right)^2
\end{aligned}
が成立します．
ここで，45^\circ<59^\circ<\theta_1, \theta_2<60^\circ から 1/2<\cos\theta_1<1/\sqrt2, 1/\sqrt2<\sin\theta_2<\sqrt3/2 となるので，
\frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac1{2\sqrt2}\left(\frac\pi{180}\right)^2
<\cos59^\circ
<\frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac14\left(\frac\pi{180}\right)^2\\
\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac{\sqrt3}4\left(\frac\pi{180}\right)^2
<\sin59^\circ
<\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac1{2\sqrt2}\left(\frac\pi{180}\right)^2
が成立します．
各項を具体的に評価します．それぞれ，
\begin{aligned}
\frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac1{2\sqrt2}\left(\frac\pi{180}\right)^2
&>\frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac12\left(\frac\pi{180}\right)^2\\
&>\frac12+\frac{1.73205}2\times0.01745-\frac120.00031\\
&>\frac12+0.01511-0.00016\\
&=0.51495\\
\frac12+\frac{\sqrt3}2\frac\pi{180}-\frac14\left(\frac\pi{180}\right)^2
&<\frac12+\frac{1.73206}2\times0.01746-\frac140.00030\\
&<\frac12+0.01513-0.00007\\
&=0.51506\\
\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac{\sqrt3}4\left(\frac\pi{180}\right)^2
&>\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac12\left(\frac\pi{180}\right)^2\\
&>\frac{1.73205}2-\frac120.01746-\frac120.00031\\
&>0.85713\\
\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac\pi{180}-\frac1{2\sqrt2}\left(\frac\pi{180}\right)^2
&<\frac{1.73206}2-\frac120.01745-\frac130.00030\\
&<0.85721
\end{aligned}
となります．
以上をまとめると，
0.51495<\cos59^\circ<0.51506\\
0.85713<\sin59^\circ<0.85721
となります．
したがって，
\frac{0.85713}{0.51506}<\tan59^\circ<\frac{0.85721}{0.51495}
となります．
ここで， 1.664<0.85713/0.51506，0.85721/0.51495<1.665 なので，示されました．